Question

如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0）、B（3，4）、C（0，4），点M从O出发以每秒2个单位的速度向A运动，点N从B同时出发以每秒1个单位的速度向C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NP⊥x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ、设运动时间为t秒，
（1）求AC所在直线的解析式；
（2）请用含t的代数式直接写出点Q的坐标；
（3）试写出△AQM的面积S与时间t的函数关系式，并求出其最大面积；
（4）是否存在点M，使△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设AC所在直线的解析式为：y=kx+b（k≠0），知道直线上两点可以求出k、b，
（2）点N从B同时出发以每秒1个单位的速度向C运动，且NP⊥x轴，又知OA=OC，可知NC=NQ，故能知道Q点坐标，
（3）由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，求最值，
（4）分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得M坐标．

解答：解：（1）设AC所在直线的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
由

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

．
∴AC所在直线的解析式为：y=-x+4．（3分）

（2）点Q（3-t，t+1）．（5分）

（3）S△AQM=

1

2

(4-2t)(t+1)=-t2+t+2=-(t-

1

2

)2+

9

4

．（7分）
当t=

1

2

时，S最大值=

9

4

．（8分）

（4）存在使△AQM为直角三角形的点M．（9分）
∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴∠OAC=45°
即点A不可能为Rt△AQM的直角顶点．（9分）
①当点Q为直角顶点时．（如图①）
∵∠MQA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=QA
∵QP⊥AM∴AP=MP=PQ
即

4-2t

2

=t+1，
∴t=

1

2

则M（1，0）．（10分）
②当点M为直角顶点时．（如图②）
∵∠QMA=90°，∠MAQ=45°，
∴MQ=MA
即4-2t=t+1，
∴t=1，则M（2，0）．（11分）
综上所述：点M的坐标为（1，0）或（2，0）．（12分）

点评：本题主要考查二次函数的最值等知识点，结合图形的面积，渗透分类讨论的思想，使问题综合性增强．