Question

如图，点D在△ABC的边AB上，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：CD=AF；
（2）若∠AED=2∠ECD，求证：四边形ADCF是矩形．

Answer 1

证明：（1）∵CF∥AB，
∴∠EFC=∠ADE，
则在△AED和△CFE中，
，
∴△AED≌△CFE，
∴DE=FE，
又∵AE=CE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CD=AF；

（2）∵∠AED=2∠ECD，∠AED=∠ECD+∠EDC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=EC，
又∵DE=FE，AE=CE，
∴AC=DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
分析：（1）首先证明△AED≌△CFE，即可证得四边形ADCF的对角线互相平分，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得；
（2）利用三角形的外角的性质即可证得∠EDC=∠ECD，则根据等角对等边即可证得DE=EC，从而证明平行四边形ADCF的对角线相等，即可证得．
点评：本题考查了平行四边形的判定方法与矩形的判定方法，以及等腰三角形的判定方法，正确理解判定方法是关键．