Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则EH的值为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：作OG⊥AD于G，连结OH，如图，根据矩形的性质得OG=

1

2

AB=1，DG=

1

2

AD=2，再根据切线的性质得DH⊥OH，则DH=1，接着证明△ODG≌△DOH得到∠ODG=∠DOH，则EO=ED，设OE=x，则DE=x，GE=DG-DE=2-x，在Rt△OGE中，根据勾股定理得到（2-x）²+1²=x²，解得x=

5

4

，即OE=

5

4

，GE=2-

5

4

=

3

4

，然后证明△EOG∽△EFO，利用相似比可计算出EF．

解答：解：作OG⊥AD于G，连结OH，如图，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OG=

1

2

AB=1，DG=

1

2

AD=

1

2

BC=2，
∵OH与⊙D切于点H，
∴DH⊥OH，
∴DH=1，
在Rt△ODG和△DOH中，

OG=DH OD=DO

，
∴Rt△ODG≌Rt△DOH（HL），
∴∠ODG=∠DOH，
∴EO=ED，
设OE=x，则DE=x，GE=DG-DE=2-x，
在Rt△OGE中，
∵GE²+OG²=OE²，
∴（2-x）²+1²=x²，解得x=

5

4

，
∴OE=

5

4

，GE=2-

5

4

=

3

4

，
∵∠OEG=∠FEO，
而∠EOF=∠OGE=90°，
∴△EOG∽△EFO，
∴

EO

EF

=

EG

OE

，即

5 4

EF

=

3 4

5 4

，
∴EF=

25

12

．
故答案为

25

12

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．