Question

如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC=BD．说明OD=OC成立的理由．

Answer 1

分析：由DA⊥AC，DB⊥BC，得到∠A和∠B都为直角，在直角三角形ACD和BCD中，由已知的边AC=BD，再加上公共边DC，利用HL可得三角形ACD与三角形BCD全等，根据全等三角形的对应角相等，可得∠BDC=∠ACD，最后根据等角对等边可得证．

解答：证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），
∴∠A=∠B=90°（垂直定义），
在Rt△ADC和Rt△BCD中，

AC=BD(已知) DC=CD(公共边)

，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），（4分）
∴∠BDC=∠ACD（全等三角形的对应角相等），
∴OD=OC（等角对等边）．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，以及等腰三角形的判定，直角三角形是特殊的三角形，其全等的方法可以用HL来判定，即直角边及斜边对应相等的两直角三角形全等，在证明边相等或角相等时，常常构造三角形全等来解决问题．