Question

5．如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP=4，求CD的长．
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D=$\sqrt{13}$．（请直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）先证明△ABP∽△PCD，再根据相似比得出CD的长；
（2）延长线段AP、DC交于点E，根据ASA证明△DPA≌△DPE，得PA=PE，再根据AAS证明△APB≌△EPC，得PB=PC；
（3）先做出图形，再根据△PDC是等腰三角形，得△PAB是等腰三角形，求得PC，根据点B与点B′关于AP 对称，得四边形ABPB′是正方形，四边形B′PCE是矩形，再得出DE的长，在Rt△B′DE中，由勾股定理，得B′D．

解答 解：（1）∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，
∴∠ABP=∠APD=∠PCD=90°，
∴∠APB=∠PDC，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{PB}{CD}$，
∵BC=5，AB=1，BP=4，
∴CP=1
∴CD=4．

（2）PB=PC，
理由如下：延长线段AP、DC交于点E
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．
在△DPA和△DPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDP}\\{DP=DP}\\{∠DPA=∠DPE}\end{array}\right.$，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA=PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．
在△APB和△EPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠ECP}\\{∠APB=∠EPC}\\{PA=PE}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB=PC；
（3）∵△PDC是等腰三角形，∠C=90°，
∴PC=CD，∠DPC=∠PDC=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°，
∵∠APB+∠DPC=90°．
∴∠APB=45°
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=45°，
∴∠BAP=∠BPA，
∴AB=PB=1．
∴PC=3
∵点B与点B′关于AP 对称，
∴△ABP≌AB′P，
∴BP=PB′=1．AB=AB′．
∵∠B=90°，
∴四边形ABPB′是正方形，
∴∠BPB′=90°，
∴∠B′PC=90°，
∵B′E⊥CD，
∴∠B′EC=90°．
∴四边形B′PCE是矩形，
∴PB′=CE=1，B′E=PC=3，
∴DE=2，
在Rt△B′DE中，由勾股定理，得B′D=$\sqrt{13}$．
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了几何变换综合题，以动点问题为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及灵活运用勾股定理计算线段的长度．