Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、BC为边在三角形外作等边三角形ABD和BCE，连接AE和DC相交于点M，试判断AE和DC的数量关系，说明理由，并求出∠CME的度数．

Answer 1

解：AE=DC．理由如下：
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB=AD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=∠BCE=∠BEC=60°，
∴∠DBC=∠ABE，
在△ABE和△DBC中，

∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，∠AEB=∠DCB，
在△MCE中，∠CME+∠MCE+∠MEC=180°，
即∠CME+（∠DCB+60°）+（60°-∠AEB）=180°，
∴∠CME=60°．
分析：根据等边三角形的性质得到AB=AD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=∠BCE=∠BEC=60°，则∠DBC=∠ABE，利用“SAS”可判断△ABE≌△DBC，所以AE=DC，∠AEB=∠DCB，而∠CME+∠MCE+∠MEC=180°，即∠CME+（∠DCB+60°）+（60°-∠AEB）=180°，然后计算可得到∠CME的度数．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质．