如图,直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C,经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点.
(1)试求点A、C的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动,同时,点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动(当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动),又PN∥x轴,交AC于P,问在运动过程中,线段PM的长度是否存在最小值?若有,试求出最小值;若无,请说明理由.
(1)A(﹣1,0);C(0,﹣3);
(2)抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(3)在运动过程中,线段PM的长度存在最小值.
解析试题分析:(1)由直线解析式y=﹣3x﹣3,将y=0代入求出x的值,得到直线与x轴交点A的坐标,将x=0代入求出y的值,得到直线与y轴交点C的坐标;
(2)根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,且过点A(﹣1,0)、C(0,﹣3),可得到方程组,解方程组即可求出抛物线的解析式;
(3)由对称性得点B(3,0),设点M运动的时间为t秒(0≤t≤3),则M(3﹣t,0),N(0,﹣t),P(xP,﹣t),则可得xP.再过点P作PD⊥x轴于点D,则D(﹣1,0),在△PDM中利用勾股定理得出PM2=MD2+PD2=(﹣+4)2+(﹣t)2=(25t2﹣96t+144),利用二次函数的性质可知当t=时,PM2最小值为,即在运动过程中,线段PM的长度存在最小值.
试题解析:(1)∵y=﹣3x﹣3,
∴当y=0时,﹣3x﹣3=0,解得x=﹣1,
∴A(﹣1,0);
∵当x=0时,y=﹣3,
∴C(0,﹣3);
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,过点A(﹣1,0)、C(0,﹣3),
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(3)由对称性得点B(3,0),设点M运动的时间为t秒(0≤t≤3),则M(3﹣t,0),N(0,﹣t),P(xP,﹣t).
即-t=-3xp-3
xp=,
过点P作PD⊥x轴于点D,则D(,0),
∴MD=(3﹣t)﹣()=﹣+4,
∴PM2=MD2+PD2=(﹣+4)2+(﹣t)2=(25t2﹣96t+144),
又∵﹣<3,
∴当t=时,PM2最小值为,
故在运动过程中,线段PM的长度存在最小值.
考点:1、一次函数图象上点的坐标特征;2、待定系数法;3、勾股定理;4、二次函数的性质
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线经过点A(﹣2,0)、B(4,0)、C(0,﹣8).
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴的右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于M,使PM=EF,请求出点P的坐标;
(3)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(2)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度,向下最多平移多少个单位长度.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(4,0)、B(-1,0),与y轴交于点C,连接AC,点M是线段OA上的一个动点(不与点O、A重合),过点M作MN∥AC,交OC于点N,将△OMN沿直线MN折叠,点O的对应点O′落在第一象限内,设OM=t,△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S.
(1)求抛物线的解析式;
(2)①当点O′落在AC上时,请直接写出此时t的值;
②求S与t的函数关系式;
(3)在点M运动的过程中,请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=5,BC=11.一个动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动,过点P作PQ⊥BC,交折线段BA-AD于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,点N在射线BC上,当Q点到达D点时,运动结束.设点P的运动时间为t秒(t>0).
(1)当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)如图2,当点Q在线段AD上运动时,线段PQ与对角线BD交于点E,将△DEQ沿BD翻折,得到△DEF,连接PF.是否存在这样的t,使△PEF是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知二次函数的图象过点O(0,0),A(4,0),B(2,﹣),M是OA的中点.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设P是抛物线上的一点,过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使四边形PQAM是菱形,求P点的坐标;
(3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,得曲线OB′A(B′为B关于x轴的对称点),在原抛物线x轴的上方部分取一点C,连接CM,CM与翻折后的曲线OB′A交于点D.若△CDA的面积是△MDA面积的2倍,这样的点C是否存在?若存在求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).
(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知抛物线 (b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,–1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求b,c的值;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与直线AC交于另一点Q.
①点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M,P,Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时,求点M的坐标;
②取BC的中点N,连接NP,BQ.当取最大值时,点Q的坐标为________.
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