Question

由四边形各边中点组成的四边形称为“中点四边形”．如图，在四边形ABCD中，已知E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA各边的中点．
（1）观察并猜想中点四边形EFGH的形状？并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，当对角线AC=BD时，中点四边形EFGH的形状又是什么呢？请说明理由．
（3）直接写出：①菱形ABCD的中点四边形EFGH的形状是______；
②对角线相等且互相垂直的四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状是______．

Answer 1

解：（1）观察猜想：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，
∴EH=FG=BD，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）由（1）可知，同理可证EF=HG=AC，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；

（3）①矩形；②正方形．
分析：（1）连接AC、BD，根据三角形的中位线定理可以证明EH与FG都平行且等于BD的一半，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（2）根据三角形的中位线定理以及AC=BD可以证明EF=FG=GH=EH，再根据四条边都相等的四边形是菱形解答；
（3）①根据菱形的对角线互相垂直，可得平行四边形EFGH的一个角是直角，从而判断是矩形；
②根据对角线相等可知平行四边形EFGH是菱形，互相垂直可知平行四边形EFGH是矩形，从而得到四边形EFGH是正方形．
点评：本题考查了三角形的中位线定理与“中点四边形”的知识，连接对角线，构造出三角形是解题的关键，熟记对角线与“中点四边形”的关系对今后的解题会大有帮助．