Question

已知：抛物线y=x²+2x-3与x轴的两个交点分别为A、B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点为D，直线y=kx+b经过点A、C；
（1）求点D的坐标和直线AC的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使得△ACP的面积与△ACD的面积相等的点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由抛物线解析式y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
得D（-1，-4）；
点A、C的坐标分别是A（-3，0），C（0，-3），
∵直线y=kx+b经过A、C两点，
∴，
∴；
∴直线AC的解析式为y=-x-3；

（2）①过点D作与直线y=-x-3平行的直线，交抛物线于点P；
则S_△ACP=S_△ACD；
设平移后的直线的解析式为y=-x+t，
∵点D的坐标为（-1，-4）；
∴t=-5；
∴P（m，-m-5），
∴-m-5=m²+2m-3，
解得m=-1（舍去）或m=-2；
∴P（-2，-3）；
②直线DP：y=-x-5与y轴的交点坐标为（0，-5），
则直线DP关于直线y=-x-3对称的直线l的解析式为y=-x-1，l交抛物线于P′，设P′（m′，-m′-1）；
由于点P’在抛物线y=x²+2x-3上，
∴-m′-1=m′²+2m′-3；
解得；
∴P′（）或P′（）；
∴所求点P的坐标分别是（-2，-3），（），（）．
分析：（1）根据抛物线的解析式，可求出点A、C、D的坐标，进而可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）由于△ACP和△ACD同底，若它们的面积相等，则点P到AC的距离等于点D到AC的距离；过点D作直线AC的平行线，那么此平行线与抛物线的交点必为所求的P点；设直线DP关于直线AC对称的直线为l，那么直线l和直线AC的距离也等于D到AC的距离，因此直线l与抛物线的交点也符合点P的要求，所以点P的坐标共有3个，可先求出直线DP和直线l的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点以及顶点坐标的求法、一次函数解析式的确定、三角形面积的求法以及函数图象交点坐标的求法等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度偏大．