Question

【题目】如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．

（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
（2）在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否AC的中点？为什么？

Answer 1

【答案】
（1）AB=AC，

证明：连结AD，

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵BD=DC，

∴AB=AC

（2）解：当△ABC为正三角形时，E是AC的中点，

连接BE，

∵AB为直径，

∴∠BEA=90°，

即BE⊥AC，

∵△ABC为正三角形，

∴AE=EC，

即E是AC的中点

【解析】（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据线段垂直平分线性质推出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AEB=90°，根据等腰三角形性质求出即可．