Question

在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为（20

3

-20）cm．
（1）求AB的长；
（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说明理由．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：几何图形问题,规律型

分析：（1）如图1，过A点作AD⊥BC，垂足为D．令AB=2tcm．在Rt△ABD中，根据三角函数可得AD=

1

2

AB=t，BD=

3

2

AB=

3

t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD-MD，得到关于t的方程，求得t的值，从而求得AB的长；
（2）如图2，当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，在Rt△ABN中，根据三角函数可得BN；如图3，设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q．求得CQ=

80 3

3

，BC=40

3

．根据BQ=BC-CQ即可求解．

解答：解：（1）如图1，过A点作AD⊥BC，垂足为D．
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°．
令AB=2tcm．
在Rt△ABD中，AD=

1

2

AB=t，BD=

3

2

AB=

3

t．
在Rt△AMD中，∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，
∴MD=AD=t．
∵BM=BD-MD．即

3

t-t=20

3

-20．
解得t=20．
∴AB=2×20=40cm．
答：AB的长为40cm．

（2）如图2，当光线旋转6秒，
设AP交BC于点N，此时∠BAN=15°×6=90°．
在Rt△ABN中，BN=

AB

cos30°

=

40

3 2

=

80 3

3

．
∴光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点B

80 3

3

cm处．
如图3，设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q．
由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2=16秒，
而2014=125×16+14，即AP旋转2014秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q．
旋转14s的过程是B→C：8s，C→Q：6s，因此CQ=BN=

80 3

3

，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BC=2ABcos30°=2×40×

3

2

=40

3

，
∴BQ=BC-CQ=40

3

-

80 3

3

=

40 3

3

，
∴光线AP旋转2014秒后，与BC的交点Q在距点B

40 3

3

cm处．

点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，注意方程思想的应用．