Question

如图，已知抛物线经过A（-8，0），B（2，0）两点，直线交 轴于点C，交抛物线于点D.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线上，点E在直线上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线l，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.

  

数学试卷参考答案及评分说明

 

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过A（-8，0），B（2，0）两点，

∴， 解得：   ··········· 2分

∴； ··················· 3分

（2）∵点P在抛物线上，点E在直线上，

设点P的坐标为，，点E的坐标为,.

如图1，∵点A（-8，0），∴.

①当AO为一边时，EP∥AO, 且，

∴，解得：，.

∴P₁(，14)，P₂(4，6) ·················· 5分

②当AO为对角线时，则点P和点E必关于点C成中心对称，故.

 ∴解得：  ∴P₃ (，).

∴当P₁(，14)，P₂(4，6)，P₃ (，)时，A，O，E，P为顶点

的四边形是平行四边形. ··················· 7分

（3）存在直线，使. ················ 8分

的值为：，，，.·········· 12分

 

 

附25.（3）参考答案：

解:存在直线使.连BD.过点C作CH⊥BD于点H.（如图2）

由题意得C(-4，0) ，B(2，0) ，D(-4，-6），

∴OC=4 ，OB=2，CD=6.∴△CDB为等腰直角三角形.

∴CH=CD，即:.

∵BD=2CH，∴BD=.

①∵CO：OB=2：1，∴过点O且平行于BD的直线满足条件

作BE⊥直线于点E ，DF⊥直线于点F，设CH交直线于点G.

∴，即: .

则， ，即，∴,∴.

∴，即.

②如图2，在△CDB外作直线l₂平行于DB，延长CH交l₂于点G′,

使, ∴.

③如图3，过H，O作直线，作BE⊥于点E，DF⊥于点F，CG⊥于点G，由①可知，

则，即: .

∵CO：OB=2：1，∴.

作HI⊥轴于点I，

∴HI= CI==3. ∴OI=4-3=1，

∴.

∵△OCH的面积=，∴.

④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线，易证：

，.

∴存在直线，使.的值为：，，，.