解：（1）令抛物线y=ax
2-5ax+4中x=0，求得y=4，
∴C（0，4），又BC∥x轴，
∴B的纵坐标为4，
把y=4代入y=ax
2-5ax+4得：ax
2-5ax=0，即ax（x-5）=0，
解得：x=0（舍去）或x=5，
∴B的坐标为（5，4），
∴BC=5，又AC=BC，
∴AC=5，又OC=4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA=
=3，
∴A（-3，0），
把x=-3，y=0代入y=ax
2-5ax+4得：9a+15a+4=0，
解得：a=-
，
则抛物线解析式为y=-
x
2+
x+4；
（2）存在符合条件的点P，共有3个，
①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP
1，
过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，
由抛物线y=-
x
2+
x+4，得到对称轴为x=
，
又∵A（-3，0），B（5，4），
∴OA=3，ON=5，BN=4，
∴AN=OA+ON=8，
在Rt△ABN中，利用勾股定理得：AB=
=4
，
∴AP
1=4
，又AM=3+
=
，
在Rt△AMP
1中，根据勾股定理得：MP
1=
=
，
则P
1（
，-
）；
②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP
2，同理BP
2=4
，
又BQ=
BC=
，QM=4，
在Rt△BQP
2中，根据勾股定理得：QP
2=QM+MP
2=
，
∴4+MP
2=
，即MP
2=
，
则P
2（
，
）；
③以AB为底，顶角为∠P时，P
3为线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，
又∵AC=BC，故C也在线段AB的垂直平分线上，
即直线CP
3为线段AB的垂直平分线，
由A和B的坐标，得到线段AB的中点W坐标为（
，
），即（1，2），
又∵C（0，4），
设直线WC的方程为：y=kx+b，
把W和C的坐标代入得：
，
解得：k=-2，b=4，
∴线段AB垂直平分线的方程为y=-2x+4，
将x=
代入得：y=-2×
+4=-1，
则P
3（
，-1），
综上，满足题意的P有三个，分别为：P
1（
，-
）；P
2（
，
）；P
3（
，-1）；
（3）由抛物线的对称性得到：对称轴与x轴的交点M为对称中心，
根据对称性得到：C
1M=C
2M，AM=A
1M，
∵A（-3，0），M（
，0），
∴A
1的坐标为（2×
+3，0），即（8，0），
又∵C（0，4），
∴C
1（0，-4），又M（
，0），
∴C
2的坐标为（2×
-0，2×0+4），即（5，4）．
分析：（1）令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为C的纵坐标，确定出C的坐标，再由BC与x轴平行，得到B的纵坐标与C的纵坐标相等，把此时的纵坐标代入抛物线解析式求出x的值，得到B的横坐标，确定出B的坐标，又AC=BC，由BC的长得到AC的长，在直角三角形AOC中，由AC及OC的长，利用勾股定理求出OA的长，确定出A的坐标，把A的坐标代入抛物线解析式中，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出抛物线的解析式；
（2）分三种情况考虑：①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP
1，过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，且由抛物线解析式求出对称轴，由OA+ON求出AN的长，在直角三角形ABN中，由AN，BN，利用勾股定理求出AB的长，即为AP
1的长，在直角三角形AMP
1中，由AP1及AM的长，利用勾股定理求出P
1M的长，再根据P
1为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P
1的坐标；②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP
2，同理BP
2的长，在Rt△BQP
2中，根据勾股定理求出QP
2的长，再由QM等于B的纵坐标，求出MP
2的长，再根据P
2为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P
2的坐标；③以AB为底，顶角为∠P时，P
3为线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，又AC=BC，故C也在线段AB的垂直平分线上，
即直线CP
3为线段AB的垂直平分线，由A和B的坐标，利用中点坐标公式求出AB中点的坐标，设出线段AB垂直平分线的方程为y=kx+b，把C和线段AB的中点代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出线段AB垂直平分线的方程，将对称轴x的值代入求出y的值，即为P
3的纵坐标，进而确定出P
3的坐标；
（3）由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴与x轴的交点M为对称中心，即M为AA
1的中点，M为C
1C
2的中点，由C关于y轴的对称性得到C
1的坐标，再由A和M的坐标，利用中点坐标公式即可求出C
2及A
1的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，点的坐标，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，线段的中点坐标公式，勾股定理，以及折叠、旋转的性质，利用了转化，分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性强、较难的题，要求学生掌握知识要全面．
已知二次函数的图象是经过点A（1，0），B（3，0），E（0，6）三点的一条抛物线．
阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=
如图，将抛物线y=-
