Question

如图1，抛物线y=-（x-3）（x-m+1）与x轴交于点A、B（B在x轴负半轴），与y轴交于点E，直线y=（m+1）x-3经过点A，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，直线y=kx（k＜0）交直线AC于点P，交抛物线于点M，过点M作x轴的垂线交直线AC于点N．请问：是否存在实数k，使经过点P、M、N三点的圆的圆心恰好在∠MPN的平分线上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，动点G、K都以1个单位/秒的速度分别从A、C两点同时出发，沿x轴、y轴向点O运动，经过t秒后（0＜t＜3）到达如图的位置，延长EG交AK于F，不论t取何值，对于等式①；②∠AEG=∠AKG，其中，有一个恒成立，请判断哪一个恒成立，并证明这个成立的结论．

Answer 1

解：（1）抛物线y=-（x-3）（x-m+1）与x轴交于点A、B（B在x轴负半轴），
∴A点坐标为：（3，0）．
∴代入直线y=（m+1）x-3，
∴0=3m+3-3，
∴m=0，
∴y=-x²+2x+3；

（2）k=-1；
因为△PMN外心既在三边的中垂线上又在内角∠MPN的平分线上，
所以△PMN为等腰三角形，MN为底边．又因为△POC∽△PMN，
∵∠PCO=45°∴∠POC=45°，∵OC=3，
∴点P，代入y=kx，所以k=-1．

（3）②成立，过点G作GH⊥AG交AE于H点，
则△AGH为等腰直角三角形，
所以AH=，
则HE=，
因为OG=OK=3-t，
所以KG=，
于是EH=KG，
因为GH=GA，∠EHG=∠KGA=135°，
所以△EHG≌△KGA，
所以∠AEG=∠AKG．（注：①为定值）
分析：（1）根据抛物线y=-（x-3）（x-m+1）与x轴交于点A、B（B在x轴负半轴），可得A点坐标为：（3，0）．即可求出m的值，进而得出二次函数解析式；
（2）利用△PMN外心既在三边的中垂线上，又在内角∠MPN的平分线上，得出△PMN为等腰三角形，MN为底边．又因为△POC∽△PMN，进而求出即可；
（3）利用已知证明△EHG≌△KGA，从而得出∠AEG=∠AKG．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，得出A点坐标以及利用三角形相似得出是解决问题的关键．