Question

10．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当CE=12，CF=10时，求CO的长；
（2）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先根据等角对等边，得出OE=OC，OF=OC，再根据等量代换，得出OE=OF；
（2）先根据角平分线的定义，求得∠ECF=90°，再根据勾股定理求得EF的长，最后根据直角三角形的性质，求得CO的长；
（3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定即可．

解答 解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF；
（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{61}$，
又∵OE=OF，
∴CO=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{61}$；
（3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
证明：∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
由（2）可得∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．

点评 本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．