Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为

3

，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积为

 

（不取近似值）．

Answer 1

考点：切线的性质,直角梯形,扇形面积的计算

专题：几何图形问题

分析：连接OE，根据∠ABC=90°，AD=

3

，∠ABD为30°，可得出AB与BD，可证明△OBE为等边三角形，即可得出∠C=30°．阴影部分的面积为直角梯形ABCD的面积-三角形ABD的面积-三角形OBE的面积-扇形ODE的面积．

解答：解：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．

∵∠ABC=90°，AD=

3

，∠ABD为30°，
∴BD=2

3

，
∴AB=3，
∵OB=OE，∠DBC=60°，OF⊥BE，
∴OF=

3

2

，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠BDC=90°，
∴∠C=30°，
∴BC=4

3

，
S_阴影=S_梯形ABCD-S_△ABD-S_△OBE-S_扇形ODE
=

(AD+BC)×AB

2

-

AD•AB

2

-

BE•OF

2

-

120×π×( 3 )2

360

=

( 3 +4 3 )×3

2

-

3 3

2

-

3 2 3

2

-π
=

21 3

4

-π．
故答案为：

21 3

4

-π．

点评：本题考查了切线的性质、直角梯形以及扇形面积的计算，要熟悉扇形的面积公式．