Question

已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．
（1）求证：

CB

=

AD

；
（2）当PA=1，∠BPO=45°时，求弦AB的长．

Answer 1

考点：垂径定理,角平分线的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，根据角平分线的性质得OE=OF，根据垂径定理得AE=BE，CF=DF，则可利用“HL”证明Rt△OBE≌Rt△ODF，得到BE=DF，则AB=CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到

AB

=

CD

，所以

CB

=

AD

；
（2）在Rt△POE中，由于∠BPO=45°，则可判断△POE为等腰直角三角形，所以OE=PE=1+AE，则OE=1+BE，然后在Rt△BOE中根据勾股定理得（1+BE）²+BE²=5²，解方程求出BE即可得到AB．

解答：（1）证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，
∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，AE=BE，CF=DF，
在Rt△OBE和Rt△ODF中，

OE=OF OB=OD

，
∴Rt△OBE≌Rt△ODF，
∴BE=DF，
∴AB=CD，
∴

AB

=

CD

，
∴

AB

+

AC

=

AC

+

CD

，
即

CB

=

AD

；
（2）解：在Rt△POE中，∵∠BPO=45°，
∴△POE为等腰直角三角形，
∴OE=PE=PA+AE=1+AE，
而AE=BE，
∴OE=1+BE，
在Rt△BOE中，∵OE²+BE²=OB²，
∴（1+BE）²+BE²=5²，解得BE=-4（舍去）或BE=3，
∴AB=2BE=6．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了角平分线的性质和勾股定理．