Question

10．如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出∠1=∠2，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，根据ASA推出△ACF≌△DCH，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出四边形ACDM是平行四边形，根据菱形的判定得出即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，
∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△ACF和△DCH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{AC=CD}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△DCH，
∴CF=CH；

（2）四边形ACDM是菱形，
证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=90°-45°=45°，
∵∠A=∠D=45°，
∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，
同理∠D+∠ACD=180°，
∴AM∥DC，AC∥DM，
∴四边形ACDM是平行四边形，
∵AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质的应用，能求出△ACF≌△DCH和四边形ACDM是平行四边形是解此题的关键，综合性比较强．