Question

如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．
（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？
（3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．

Answer 1

解：连AC，设AC、BD相交于点O；
（1）∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BE=FD，
∴OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）∵四边形AECF是菱形，
∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．
∵BE=FD，
∴OB=OD．
∴四边形ABCD是菱形．

（3）四边形ABCD不是矩形．
分析：（1）连AC，证OB=OD，即可；
（2）四边形ABCD是菱形．证对角线互相垂直平分即可；
（3）因为∠BAD和∠EAF不可能都为90°，所以四边形ABCD不是矩形．
点评：此题主要考查平行四边形、菱形、矩形的判定．