Question

20．如图，已知：AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，F为$\widehat{BC}$的中点，过F作DE∥BC交AB的延长线于D，交AC的延长线于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为10，∠A=45°，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）利用垂径定理以及圆周角定理得出∠1=∠2，进而得出OF⊥DE求出即可；
（2）利用勾股定理得出AE的长进而利用S_阴影部分=S_△ADE-S_△AOC-S_扇形OBC求出即可．

解答 （1）证明：连接OF，OC，作OG⊥AC，垂足为G，
∵F为$\widehat{BE}$的中点，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{FC}$，
∴∠1=∠2，
∵OB=OC
∴OF⊥BC，
∴∠ONC=90°，
∵DE∥BC，
∴∠OFE=∠ONC=90°，
∴OF⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵OG⊥AC，
∴AG=CG=5$\sqrt{2}$，
AE=AG+GE=AG+OF=5$\sqrt{2}$+10，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，
∴∠E=∠ACB=90°，
∵∠A=45°，
∴DE=AE=5$\sqrt{2}$+10，
∵∠BOC=2∠A=90°，
∴S_阴影部分=S_△ADE-S_△AOC-S_扇形OBC
=$\frac{1}{2}$（10+5$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{2}$×10×10-$\frac{90π×1{0}^{2}}{360}$
=25+50$\sqrt{2}$-25π．

点评 此题主要考查了切线的判定以及勾股定理和扇形面积等知识，得出S_阴影部分=S_△ADE-S_△AOC-S_扇形OBC是解题关键．