练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题：

    （1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
    （2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
    （3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。
    解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，
    ∴由勾股定理，得NM=10。
    当点G在线段AE上时，如图，

    此时，GG′=MN=10。
    ∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，
    ∴t=10秒。
    （2）存在。
    由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。
    ①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。

    根据题意，知AP=EN=t，
    由△QNE∽△GNM得，即，∴。
    由△QHE∽△NGM得，即，
    ∴。
    ∴。
    若AP=AQ，则，解得，不存在；
    若AP=PQ，则，△＜0，无解，不存在；
    若AQ=PQ，则，无正数解，不存在。
    ②当10＜t≤16时，线段GN的延长线与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。

    同上，AP=EN=t，
    由△QNE∽△GNM得，即，∴。
    由△QHE∽△NGM得，即，
    ∴。
    ∴。
    若AP=AQ，则，解得。
    若AP=PQ，则，△＜0，无解，不存在；
    若AQ=PQ，则，无正数解，不存在。
    综上所述，存在，使△APQ是等腰三角形。
    （3）S与t的函数关系式为。
    （1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值。
    （2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。
    （3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积，
    由（2）①，EN=t，，∴。
    当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积。

    由（2）①，EN=t，，∴。
    过点I 作IJ⊥BC于点J，
    ∵EF=7，EN=t，∴。
    由△FJI∽△FBA得，即。
    由△INJ∽△MNG得，即。
    二式相加，得。∴
    ∴。
    当10＜t≤时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于△GMN的面积减去△INF的面积。
    过点I 作IH⊥BC于点H，

    ∵EF=7，EN=t，∴。
    由△FHG∽△FBA得，即。
    由△INH∽△MNG得，即。
    二式相加，得。∴。
    ∴。
    当＜t≤16时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△IFM的面积。

    ∵，
    （同上可得），
    ∴。
    综上所述，。
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    课本中把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请解决下列问题：
    （1）将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明；

    （2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作：
    第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；
    第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙) ．此时E点恰好落在AE边上的点M处；
    第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．

    请你研究，矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．
    （3）不难发现，将一张标准纸如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB＝1，BC＝，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2002次对开后所得标准纸的周长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    阅读下列材料：
    如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M、N分别在边AB、BC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b，若，则有结论：。

    请根据以上结论，解答下列问题：

    如图2，3，BE、CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3。
    （1）若点P为线段EF的中点，求证：PP1=PP2＋PP3；
    （2）若点P在线段EF上任意位置时，试探究PP1、PP2、PP3的数量关系，给出证明。

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB=　   　．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有

    A．1个         B．2个        C．3个        D．4个

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=250，则∠2=　 　．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

    （1）的值为　 　；
    （2）求证：AE=EP；
    （3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是
    A．2B．3C．4D．5

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=
    A．80°B．70°C．40°D．20°

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案