Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，AC=25，CD=12．
（1）求DE的长；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE=CD；
（2）先求出AD的长度，在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出AE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BC，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理列式求解即可得到BC的长度．

解答：解：（1）∵BD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD=12；

（2）∵AC=25，CD=12，
∴AD=AC-CD=25-12=13，
在Rt△ADE中，AE=

AD2-DE2

=

132-122

=5，
在Rt△BCD和Rt△BED中，

BD=BD CD=DE

，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE=BC，
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，
即（5+BC）²=25²+BC²，
解得BC=60．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（2）多次利用勾股定理是解题的关键．