Question

17．当0≤x≤2时，y=ax²+4（a+1）x-3在x=2时取得最大值，则实数a的取值范围是a$＞-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，可以分三种情况进行讨论，然后根据三种情况，从而可以得到a的取值范围．

解答 解：∵当0≤x≤2时，y=ax²+4（a+1）x-3在x=2时取得最大值，
∴当a＞0时，a×2²+4（a+1）×2-3＞a×0²+4（a+1）×0-3，
解得，a＞$-\frac{2}{3}$，
∴a＞0；
当a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{a×22+4（a+1）×2-3＞a×02+4（a+1）×0-3}\\{2≤-\frac{4（a+1）}{2a}}\end{array}\right.$，
解得，a$＞-\frac{1}{2}$，
∴$-\frac{1}{2}＜a＜0$；
当a=0时，y=4x-3，则在当0≤x≤2时，y=4x-3在x=2时，取得最大值；
由上可得，实数a的取值范围是a$＞-\frac{1}{2}$，
故答案为：a$＞-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查二次函数的最值，解答问题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答，易错点是容易把a=0这种情况漏掉．