Question

5．已知关于x的方程x²-mx-m-1=0（m为常数）．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）设x₁，x₂是方程的两个实数根，且2x₁-x₂=5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△=b²-4ac≥0即可；
（2）利用因式分解法求得一元二次方程的根，再代入2x₁-x₂=5得出m的方程，求得答案即可．

解答 （1）证明：∵b²-4ac=（-m）²-4×1×（-m-1）=m²+4m+4=（m+2）²≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）解：∵x²-mx-m-1=0，
∴（x-m-1）（x+1）=0，
解得：x₁=m+1，x₂=-1，
又∵2x₁-x₂=5，
∴2（m+1）+1=5或-2-（m+1）=5，
解得：m=1或m=-8．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及解一元二次方程的方法．