如图.在梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=90°.CD=8$\sqrt{2}$cm.BC=12cm.cos∠C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．(1)求AB和AD的长,(2)如在线段BC.AD上有动点P.M.点P以每秒1cm的速度.从点B沿线段向点C运动,同时点M以相同的速度.从点D沿线段DA向点A运动.当点M到达点A时.两点同时停止运动.过点P作AD的垂线.交线段BD于点F� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，CD=8$\sqrt{2}$cm，BC=12cm，cos∠C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求AB和AD的长；
（2）如在线段BC、AD上有动点P、M，点P以每秒1cm的速度，从点B沿线段向点C运动；同时点M以相同的速度，从点D沿线段DA向点A运动，当点M到达点A时，两点同时停止运动，过点P作AD的垂线，交线段BD于点F（点F不与点B、D重合）．设点P动的时间为t（秒），则在点P、M在边BC、DA上移动过程中．
①当点P运动时间t为何值时，△BPF与△DMF相似；
②联结PM，如果△PFM的面积为2cm，请求出点P的位置．（直接写出结果，不需要过程）

分析（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，先证明四边形ABED是矩形，然后在Rt△DEC中，利用特殊锐角三角函数值求得DE、EC的长，从而可求得AB、AD的长；
（2）①由△BPF∽△DMF，得到∠BPF=∠DMF=90°，从而可知：点P、F、M在一条直线上；
②如图3和图4所示，先求得tan∠DBE=2，然后分别表示出PF和MN的长，然后根据三角形的面积公式列出关于x的方程，最后解得t的值，从而可求得点P的位置．

解答解：（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E．

∵AD∥BC，
∴∠ABC=∠BAD=90°．
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°．
∴∠ABC=∠BAD=∠DEB=90°．
∴四边形ABED是矩形．
∴AB=DE，AD=BE．
∵在Rt△DEC中，∠C=45°，CD=8$\sqrt{2}$．
∴EC=DE=DC•sin45°=8$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=8．
∴AB=DE=8，AD=EB=BC-EC=12-8=4．
（2）①如图2所示：

∵△BPF∽△DMF，
∴∠BPF=∠DMF=90°．
∵PF⊥AD，
∴点P、F、M在一条直线上．
设运动时间为t秒时，△BPF∽△DMF，则BP=t，DM=t．
∵DM=PE，
∴4-t=t．
解得：t=2．
②如图3所示；过点D作DE⊥BC，垂足为E．

由（1）可知：DE=8，BE=4．
∵tan∠DBE=$\frac{DE}{BE}$=2．
∴PF=2BP=2t．
MN=AD-AN-MD=4-t-t=4-2t．
∴$\frac{1}{2}×2t×（4-2t）$=2．
解得：t=1．
∴BP=1．
如图4所示，过点D作DE⊥BC，垂足为E．

由（1）可知：DE=8，BE=4．
∵tan∠DBE=$\frac{DE}{BE}$=2．
∴PF=2BP=2t．
MN=AN+MD-AD=2t-4．
∴$\frac{1}{2}×2t×（2t-4）$=2．
解得：${t}_{1}=1-\sqrt{2}$（舍去），t₂=1$+\sqrt{2}$．
∴PB=1$+\sqrt{2}$．
综上所述，当BP=1或BP=1$+\sqrt{2}$时，△PFM的面积为2cm²．

点评本题主要考查的是锐角三角函数的定义、矩形的性质、相似三角形的性质、三角形的面积公式、解一元二次方程的应用，根据题意画出符合题意得图形是解题的关键．

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