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    已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F分别在边AB，AC上．
    （1）如图a，当△ABC是等边三角形时，证明：AE+AF=
    32
    BC．
    （2）如图b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并对你的猜想加以证明．
    （3）如图c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你对（1），（2）两题的解题思路计算出线段CD（BD＞CD）的长．
    分析：（1）根据等边三角形的性质求出∠EDB=∠FDC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EB=
    1
    2
    BD，FC=
    1
    2
    CD，然后表示出AE+AF即可；
    （2）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠C=30°，然后解直角三角形表示出BE、CF，再表示出AE+AF整理即可得解；
    （3）过点A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质求出BM，再利用勾股定理列式求出AM，根据（2）的思路求出AE+AF，过点F作FG⊥BA的延长线于G，过点C作CN⊥BA的延长线于N，利用△ABC的面积求出CN，再利用勾股定理列式求出AN，设AF=x，然后解直角三角形表示出AG、FG，然后表示出EG，在Rt△EFG中，利用勾股定理列出方程求出x，再求出CF，然后解直角三角形即可得到CD．
    解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
    ∴∠EDB=∠FDC=30°，
    ∴EB=
    1
    2
    BD，FC=
    1
    2
    CD，
    ∴BE+FC=
    1
    2
    BD+
    1
    2
    CD=
    1
    2
    BC，
    ∴AE+AF=AB+AC-BE-FC=2BC-
    1
    2
    BC，
    ∴AE+AF=
    3
    2
    BC；

    （2）解：AE+AF=
    1
    2
    AB．
    理由：∵AB=AC，∠BAC=120°，
    ∴∠B=∠C=30°，
    ∴BE=BD•cos30°，CF=CD•cos30°，
    ∴AE+AF=AB-BE+AC-CF，
    =2AB-BD•cos30°-CD•cos30°，
    =2AB-BC•cos30°，
    =2AB-2AB•cos30°×cos30°，
    =
    1
    2
    AB，
    即AE+AF=
    1
    2
    AB；

    （3）解：过点A作AM⊥BC于点M，
    ∵AC=AB=10，BC=16，EF=6，
    ∴BM=CM=8，
    由勾股定理得，AM=
    		AB2-BM2
    =
    		102-82
    =6，
    ∵DE⊥AB，DF⊥AC，
    ∴在Rt△BDE中，BE=BD•cos∠B=
    8
    10
    BD=
    4
    5
    BD，
    在Rt△CDF中，CF=CD•cos∠C=
    8
    10
    CD=
    4
    5
    CD，
    ∴BE+CF=
    4
    5
    （BD+CD）=
    4
    5
    BC=
    4
    5
    ×16=
    64
    5
    ，
    ∴AE+AF=AB+AC-（BE+CF）=2×10-
    64
    5
    =
    36
    5
    ，
    过点F作FG⊥BA的延长线于G，过点C作CN⊥BA的延长线于N，
    则S△ABC=
    1
    2
    AB•CN=
    1
    2
    BC•AM，
    即
    1
    2
    ×10•CN=
    1
    2
    ×16×6，
    解得CN=
    48
    5
    ，
    由勾股定理，AN=
    		AC2-CN2
    =
    		102-(
    48
    5
    )    2
    =
    14
    5
    ，
    ∴sin∠CAN=
    CN
    AC
    =
    48
    5
    10
    =
    24
    25
    ，
    cos∠CAN=
    AN
    AC
    =
    14
    5
    10
    =
    7
    25
    ，
    设AF=x，则AE=
    36
    5
    -x，
    在Rt△AFG中，FG=AF•sin∠CAN=
    24
    25
    x，
    AG=AF•cos∠CAN=
    7
    25
    x，
    ∴EG=AE+AG=
    36
    5
    -x+
    7
    25
    x=
    36
    5
    -
    18
    25
    x，
    在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2，
    即62=（
    36
    5
    -
    18
    25
    x）2+（
    24
    25
    x）2，
    整理得，5x2-36x+55=0，
    解得x1=5，x2=
    11
    5
    ，
    ∵BD＞CD，
    ∴AF=AE=5，
    ∴CF=AC-AF=10-5=5，
    CD=CF÷cos∠C=5÷
    4
    5
    =
    25
    4
    ．
    点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，读懂题目信息理清求解AE+AF的思路是解题的关键，（3）题较为复杂，作辅助线构造出直角三角形并利用勾股定理列出方程，然后求出AF的长是解题的关键．
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