Question

12．在△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，将△ABC放示的平面直角坐标系中，且点B（-8、0）、点C在x在轴上，P是y正半轴上一动点，把△POC绕点C逆时针旋转∠ACB的度数，点P旋转后的对应点为Q．若OP=2时，则Q点的坐标是（$\frac{16}{13}$，-$\frac{50}{13}$）．

Answer 1

分析 如图，延长CP交AB于M，作QN⊥OC于N．求出直线PA、CM的解析式，解方程组求出点M坐标，求出AM、CM，再利用△CAM∽△CNQ，得$\frac{CA}{CN}$=$\frac{AM}{NQ}$=$\frac{CM}{CQ}$，求出NQ、CN即可解决问题．

解答 解：如图，延长CP交AB于M，作QN⊥OC于N．

∵∠ACB=∠PCQ，
∴∠ACM=∠NCO，∵∠A=∠QNC=90°，
∴△CAM∽△CNQ，
∴$\frac{CA}{CN}$=$\frac{AM}{NQ}$=$\frac{CM}{CQ}$，
由题意B（-8，0），A（$\frac{40}{13}$，$\frac{60}{13}$），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{5}{12}$x+$\frac{10}{3}$，
∵C（5，0），P（0，2），
∴直线CP的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{5}x+2}\\{y=\frac{5}{12}x+\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{80}{49}}\\{y=\frac{130}{49}}\end{array}\right.$，
∴M（-$\frac{80}{49}$，$\frac{130}{49}$），
∴AM=$\sqrt{（\frac{40}{13}{+\frac{80}{49}）}^{2}+（\frac{60}{13}-\frac{130}{49}）^{2}}$=$\frac{250}{49}$，MC=$\sqrt{（5+\frac{80}{49}）^{2}+（\frac{130}{49}）^{2}}$=$\frac{65}{49}\sqrt{29}$，
∴$\frac{5}{CN}$=$\frac{\frac{250}{49}}{NQ}$=$\frac{\frac{65}{49}\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$，
∴CN=$\frac{49}{13}$，NQ=$\frac{50}{13}$，
∴ON=$\frac{16}{13}$，
∴Q（$\frac{16}{13}$，-$\frac{50}{13}$）．
故答案是：（$\frac{16}{13}$，-$\frac{50}{13}$）．

点评 本题考查一次函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程组求两个函数图象交点坐标．