Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分线交BC于E，连接ED．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）当∠ABC=60°，EC=BE时，证明：梯形ABCD是等腰梯形．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
同理：AB=BE，
∴AD=BE，
又∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
又∵AB=BE，
∴平行四边形ABED为菱形．

（2）证明：∵AB=BE，∠ABC=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=AE．
又∵AD=BE=EC，AD∥EC．
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE=DC，
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
分析：（1）根据平行线性质和角平分线定义求出∠ABD=∠ADB，推出AB=AD，AB=BE，推出AD=BE，得出平行四边形ABED，根据菱形的判定推出即可；
（2）推出等边三角形ABE，得出AE=AB，推出平行四边形AECD，推出AE=CD，推出AB=CD即可．
点评：本题考查的知识点是等腰梯形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．