Question

已知关于x的方程（m+1）x²+2mx+（m-3）=O有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根．

Answer 1

解：（1）关于x的方程（m+1）x²+2mx+（m-3）=0有实数根，分两种情况讨论：
①m+1=0即m=-1时，是一元一次方程，此时方程即为-2x-4=0，必有实数根；
②m+1≠0时，是一元二次方程，
△=b²-4ac=（2m）²-4×（m+1）×（m-3）=8m+12≥0，
解得：m≥-且m≠-1；
综上可知，当m≥-时，方程（m+1）x²+2mx+（m-3）=O有实数根；

（2）∵关于x的方程（m-1）x²+（2m-1）x+m-2=0有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（2m）²-4×（m+1）×（m-3）=8m+12=0，
解得：m=-，
∴方程变为：-x²-3x-=0，
两边同时乘以-2得：x²+6x+9=0，
解得x₁=x₂=-3．
分析：（1）根据方程有实数根，分两种情况讨论：m+1=0时，方程即为-2x-4=0，必有实数根；m+1≠0时，△=b²-4ac=（2m）²-4×（m+1）×（m-3）=8m+12≥0，解不等式即可；
（2）根据方程有两个相等的实数根，可得△=b²-4ac=（2m）²-4×（m+1）×（m-3）=8m+12=0，解方程可得m的值，再把m的值代入方程（m+1）x²+2mx+（m-3）=0，解一元二次方程即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．