Question

如图，抛物线y=-x²+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=-x²+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8．

（2）设M坐标为（a，-a²+2a+8），其中a＞0．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，8）．
∵A（4，0），C（0，8）．
∴直线AC的解析式为y=-2x+8．
过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为（a，-2a+8）．
∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积
=-a²+4a
=-（a-2）²+4
当a=2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4．

（3）①当∠ACP=90°时，点P的坐标为（1，9.5）；
②当∠CAP=90°时，点P的坐标为（1，-1.5）；
③当∠APC=90°时，点P的坐标为（1，4+）或（1，4-）．
分析：（1）利用待定系数法将A（4，0）和B（-2，0）代入y=-x²+mx+n，求出即可；
（2）设M坐标为（a，-a²+2a+8），其中a＞0．利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点M作x轴的垂线，交AC于N，则△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积，再利用二次函数最值求法得出即可；
（3）分三种情况：①当∠ACP=90°时；②当∠CAP=90°时；③当∠APC=90°时；讨论求解．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，二次函数这部分经常利用数形结合以及分类讨论思想相结合，综合性较强注意不要漏解．