Question

12．已知抛物线y=-x²+mx+4的顶点为D，它与x轴交于A和B两点，且A在原点左侧，B在原点右侧，与y轴的交点为P，且以AD为直径的圆M截y轴所得的弦EF恰好以点P为中点，则m的值为4或-4．

Answer 1

分析 先求得P的坐标，根据题意得出M的纵坐标为4，进而得出D的纵坐标为8，然后根据顶点公式列出等式，解根据m的方程即可．

解答 解：如图，由抛物线y=-x²+mx+4可知与y轴的交点P（0，4），
∵以AD为直径的圆M截y轴所得的弦EF恰好以点P为中点，
∴MP⊥y轴，
∴M的纵坐标为4，
∴D的纵坐标为8，
由抛物线y=-x²+mx+4的顶点的纵坐标为：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-16-{m}^{2}}{-4}$=8，
整理得，m²=16，
解得m=±4，
故答案为4或-4．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点，垂径定理的应用以及三角形中位线的性质，求得M的纵坐标是解题的关键．