Question

某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一次函数的应用

专题：代数综合题,压轴题

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案．

解答：解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k₁x+b₁，由图象可得

40k1+b1=60 58k1+b1=24

，
解得

k1=-2 b1=140

．
∴y=-2x+140．
当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k₂x+b₂，由图象得

58k2+b2=24 71k2+b2=11

，
解得

k2=-1 b2=82

，
∴y=-x+82，
综上所述：y=

-2x+140    (40≤x≤58) -x+82   (58＜x≤71)

；

（2）设人数为a，当x=48时，y=-2×48+140=44，
∴（48-40）×44=106+82a，
解得a=3；

（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：
b[（x-40）•y-82×2-106]≥68400，
∴b≥

68400

(x-40)•y-82×2-106

，
当40≤x≤58时，∴b≥

68400

(x-40)(-2x+140)-270

=

68400

-2x2+220x-5870

，
x=-

220

2×(-2)

=55时，-2x²+220x-5870的最大值为180，
∴b≥

68400

180

，即b≥380；
当58＜x≤71时，b≥

68400

(x-40)(-x+82)-270

=

68400

-x2+122x-3550

，
当x=-

122

2×(-1)

=61时，-x²+122x-3550的最大值为171，
∴b≥

68400

171

，即b≥400．
综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．

点评：本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等式的应用，分类讨论是解题关键．