Question

【题目】如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．

（1）求出二次函数的关系式；

（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；

（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，（，3），（3﹣3，12﹣6）

【解析】

（1）根据题意得出点B和点C的坐标，将两点坐标代入即可得出函数解析式；

（2）根据（1）中函数解析式得出点M的坐标，根据OD＝m设出点P的坐标，从而得出PD的长度，再根据得出S关于m的函数解析式；再根据点P在线段MB上得出m的取值范围；

（3）分别讨论∠PDC、∠DPC和∠DCP分别是直角的的情况是否存在，如果存在，根据实际情况，利用数形结合的思想得出点P的坐标.

解：（1）∵OB＝OC＝3，

∴B（3，0），C（0，3）

∴，

解得

∴二次函数的解析式为；

（2）由（1）可得函数解析式为：，

∴M（1，4）

设直线MB的解析式为y＝kx+n，将点M（1，4），点B（3，0）代入可得：

则有，

解得：，

∴直线MB的解析式为；

∵PD⊥x轴，OD＝m，

∴点P的坐标为（m，）

∴；

又∵点P为线段MB上的一个动点，且当点P与点B重合时，点P和点D重合，PCD不能构成三角形，

∴；

∴；

（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，

∴∠PDC≠90°，

如图，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，

当CPAB时，

∵PD⊥AB，

∴CP⊥PD，

∴PD＝OC＝3，

∴P点纵坐标为：3，代入，

得：，此时．

∴线段BM上存在点使△PCD为直角三角形．

如图，当时，△COD′∽△D′CP′，

此时CD′2＝COP′D′，

即，

∴

解得：，

∵，

∴，

∴P′

综上所述：P点坐标为：（，3），．