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    如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON．

    （1）求该二次函数的关系式；

    （2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积；

    （3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：

    ①证明：∠ANM＝∠ONM；

    ②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

     

    【答案】

    （1）

    （2）12

    （3）相似三角形的基本知识推出该角度的相等，不能

    【解析】

    试题分析：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。

    又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。

    ∴二次函数的关系式为，即。（2分）

    （2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。

    ∴直线OA的解析式为。

    把x=4代入得y=-2。∴M（4，－2）。

    又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。

    ∴。（3分）

    （3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则

    设A（）,

    则直线OA的解析式为。

    则M（），N（），H（）。

    ∴OD=4，ND=，HA=，NH=。

    ∴。

    ∴。∴∠ANM=∠ONM。（2分）

    ②不能。理由如下：分三种情况讨论：

    情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，

    ∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。

    整理，得，解得。

    ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。

    情况2，若∠AON是直角，则。

    ∵ ，

    ∴。

    整理，得，解得，。

    ∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。

    情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。

    ∵OD=4，MD=，ND=，∴。

    整理，得，解得。

    ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。

    综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。（3分）

    考点：二次函数的综合题

    点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．

     

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    （1）求点B的坐标及抛物线y=x2+bx-3的解析式；
    （2）求四边形ACDB的面积；
    （3）若点E（x，y）是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S．
    ①求S与x之间的函数关系式．
    ②若以A，B，C，E为顶点的四边形与四边形ACDB的面积相等，求点E的坐标．

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    （1）求点B的坐标及抛物线y=x2+bx-3的解析式；
    （2）在x轴上找一点P，使△CDP的周长最小，并求出点P的坐标；
    （3）若点E（x，y）是抛物线上不同于A，B，C的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

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    OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON．
    （1）求该二次函数的关系式．
    （2）若点A的坐标是（6，-3），求△ANO的面积．

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    （1）求该二次函数的关系式；
    （2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
    ①证明：∠ANM=∠ONM；
    ②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

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