Question

如图，抛物线与x轴交于B、C两点（点B在点C的右侧），其顶点为点A（1，4），且抛物线经过点B（4，0）．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）动点P、Q分别从点C、B两点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿CB、BA向终点B、A运动，问t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（3）在y轴是否存在点M，使得△ABM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的对称性可求出点C的坐标，因为知道抛物线的顶点坐标，所以可设设解析式为y=a（x-1）²+4，把B的坐标代入求出a的值即可；
（2）设对称轴x=1与x轴的交点为E，再分当Rt△PBQ∽Rt△ABE时，当Rt△PBQ∽Rt△EBA时，分别讨论，求出t的值即可；
（3）在y轴存在点M，使得△ABM是等腰三角形，易求AB的长，设M坐标为（0，m），分三种情况进行讨论，①当MB=MA时，②当MB=BA时，③当MA=AB时，分别求出满足△ABM是等腰三角形时m的值．

解答：解：（1）∵抛物线顶点为点A（1，4），且抛物线经过点B（4，0）．由点B和C关于x=1对称，
∴C（-2，0），
设解析式为y=a（x-1）²+4且过点B（4，0），
∴a=-

4

9

，
∴y=-

4

9

（x-1）²+4，
（2）PB=6-t，BQ=t，设对称轴x=1与x轴的交点为E，
①如图1，当Rt△PBQ∽Rt△ABE时，

∵A（1，4），B（4，0）．
∴AB=

AE2+BE2

=

42+(4-1)2

=5
∴

PB

AB

=

BQ

BE

，
即有

6-t

5

=

t

3

∴t=

9

4

；                                  
②如图2，当Rt△PBQ∽Rt△EBA时，

∵A（1，4），B（4，0）．
∴BE=3，AB=

AE2+BE2

=

42+(4-1)2

=5，
∴

PB

EB

=

BQ

BA

，即有

6-t

3

=

t

5

∴t=

15

4

．
∴当t=

9

4

或t=

15

4

时，Rt△PBQ是直角三角形．
（3）在y轴存在点M，使得△ABM是等腰三角形，理由如下：
∵点A（1，4），点B（4，0），
∴AB=

AE2+BE2

=5，
①当MB=MA时，则AB为底，所以以作AB的垂直平分线交y轴，于M，此时M的坐标为（0，

1

8

）；
②当MB=BA时，以B为圆心，BA长为半径画圆，和y轴有两个交点，交点坐标为（0，3）、（0，-3）；
③当MA=AB时，以A为圆心，BA长为半径画圆，和y轴有两个交点，交点坐标为（0，4+2

6

）、（0，4-2

6

）；
∴P点的坐标是（0，3）或（0，-3）或（0，4+2

6

）或（0，4-2

6

）或（0，

1

8

）．

点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是正确求出函数的解析式，解答第三问的时候需要分三种情况进行讨论，同学们很容易出现漏解的情况，请同学们解答的时候稍加注意．