Question

如图，已知平面直角坐标系中，OA=OB=2，BP⊥AB
（1）求直线BP的函数解析式；
（2）在BP上截取BC=BA，过A作任意直线AM使CD⊥AM于D，求∠ADB的度数．
（3）在（2）的条件下，延长DB到N，且NA⊥AD，SN⊥NA，交AB的延长线于S，连SC，则SC-CD的值是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线BP的函数解析式为y=kx+b，直线BC交y轴于点E，先由ASA证明△AOB≌△EOB，得出OA=OE=2，求出E点坐标，再将B、E两点的坐标代入y=kx+b，运用待定系数法即可求出；
（2）过B作BG⊥AD于G，BF⊥DC交DC的延长线于F，先由AAS证明△ABG≌△CBF（AAS），得出BG=BF，再根据角平分线的判定定理得出DB平分∠ADC，进而求出∠ADB=45°；
（3）延长SN交y轴T，先由ASA证明△ADC≌△ANT，得出AC=AT，CD=TN，再利用SAS证明△AST≌△ASC，得出ST=SC，则SC-CD=SN，由SN为定值，得出SC-CD的值不变．

解答：解：（1）设直线BP的函数解析式为y=kx+b，直线BC交y轴于点E，如图1．
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠OAB=45°，B（2，0），
∵BP⊥AB，
∴∠ABE=∠ABC=90°，∠OBE=45°．
在△AOB与△EOB中，

∠ABO=∠EBO=45° OB=OB ∠AOB=∠EOB=90°

，
∴△AOB≌△EOB（ASA），
∴OA=OE=2，
∴E点坐标为（0，-2）．
将B（2，0），E（0，-2）代入y=kx+b，
得

2k+b=0 b=-2

，解得

k=1 b=-2

．
∴直线BP的函数解析式为y=x-2；

（2）过B作BG⊥AD于G，BF⊥DC交DC的延长线于F，则∠BGD=∠BFD=90°．如图2．
∵四边形GBFD的内角和为360°，∠GDF=∠BGD=∠BFD=90°，
∴∠GBF=90°，
∴∠ABC=∠GBF=90°，
∴∠ABG=∠CBF=90°-∠GBC．
在△ABG与△CBF中，

∠AGB=∠CFB=90° ∠ABG=∠CBF AB=CB

，
∴△ABG≌△CBF（AAS），
∴BG=BF，
∵BG⊥AD于G，BF⊥DC于F，
∴DB平分∠ADC，
又∵∠ADC=90°，
∴∠ADB=45°；

（3）SC-CD的值不变，理由如下：
延长SN交y轴T，如图2．
∵∠ADB=45°，∠DAN=90°，
∴∠AND=∠ADB=45°，
∴AD=AN．
∵∠OAC=∠OAB+∠BAC=45°+45°=90°=∠NAD，
∴∠TAN=∠CAD=90°-∠NAC．
在△ADC与△ANT中，

∠CAD=∠TAN AD=AN ∠ADC=∠ANT=90°

，
∴△ADC≌△ANT（ASA），
∴AC=AT，CD=TN．
在△AST与△ASC中，

AT=AC ∠TAS=∠CAS=45° AS=AS

，
∴△AST≌△ASC（SAS），
∴ST=SC，
∴SC-CD=ST-TN=SN．
∵SN为定值，
∴SC-CD的值不变．

点评：本题是一次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求直线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，四边形内角和定理等知识，综合性较强，有一定难度．