【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:S△PBQ=5:2,求K点坐标.
【答案】(1) y=x2-
x-3;(2) 运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是
;(3)K1(1,-
),K2(3,-
).
【解析】
试题分析:(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b的解析式,通过解方程组求得它们的值;
(2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=-(t-1)2+
.利用二次函数的图象性质进行解答;
(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x-3.由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为(m,
m2-
m-3).
如图2,过点K作KE∥y轴,交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得S△CBK=.则根据图形得到:S△CBK=S△CEK+S△BEK=
EKm+
EK(4-m),把相关线段的长度代入推知:-
m2+3m=
.易求得K1(1,-
),K2(3,-
).
试题解析:(1)把点A(-2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx-3(a≠0),得
,
解得,
所以该抛物线的解析式为:y=x2-
x-3;
(2)设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t.
∴PB=6-3t.
由题意得,点C的坐标为(0,-3).
在Rt△BOC中,BC==5.
如图1,过点Q作QH⊥AB于点H.
∴QH∥CO,
∴△BHQ∽△BOC,
∴,即
,
∴HQ=t.
∴S△PBQ=PBHQ=
(6-3t)
t=-
t2+
t=-
(t-1)2+
.
当△PBQ存在时,0<t<2
∴当t=1时,
S△PBQ最大=.
答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是;
(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).
把B(4,0),C(0,-3)代入,得
,
解得,
∴直线BC的解析式为y=x-3.
∵点K在抛物线上.
∴设点K的坐标为(m,m2-
m-3).
如图2,过点K作KE∥y轴,交BC于点E.则点E的坐标为(m,m-3).
∴EK=m-3-(
m2-
m-3)=-
m2+
m.
当△PBQ的面积最大时,∵S△CBK:S△PBQ=5:2,S△PBQ=.
∴S△CBK=.
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EKm+
EK(4-m)
=×4EK
=2(-m2+
m)
=-m2+3m.
即:-m2+3m=
.
解得 m1=1,m2=3.
∴K1(1,-),K2(3,-
).
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【题目】如图,已知点A(4,0),B(0,4),把一个直角三角尺DEF放在△OAB内,使其斜边FD在线段AB上,三角尺可沿着线段AB上下滑动.其中∠EFD=30°,ED=2,点G为边FD的中点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)如图1,当点D与点A重合时,求经过点G的反比例函数y=(k≠0)的解析式;
(3)在三角尺滑动的过程中,经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F?如果能,求出此时反比例函数的解析式;如果不能,说明理由.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
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【题目】山地自行车越来越受到中学生的喜爱,各种品牌相继投放市场,某车行经营的A型车去年销售总额为5万元,今年每辆销售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A型车每辆售价多少元?(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
A,B两种型号车的进货和销售价格如下表:
A型车 | B型车 | |
进货价格(元) | 1100 | 1400 |
销售价格(元) | 今年的销售价格 | 2000 |
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上
B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”,表示明天有40%的时间都在降雨
C. “篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件
D. “a是实数,|a|≥0”是不可能事件
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