Question

1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若∠E=30°，EC=3$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到∠OCB=∠CBA，求得∠ECA=∠OCB，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）证得△OCE是直角三角形，根据三角函数的定义得到OC=3，根据图形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OC，
∵AC=CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABC=∠CBD，
∵∠ECA=∠CBD，
∴∠ECA=∠CBA，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠CBA，
∴∠ECA=∠OCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的直径，
∴EC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）证得△OCE是直角三角形，
∵∠E=30°，EC=3$\sqrt{3}$，
tanE=$\frac{OC}{EC}$，即$\frac{OC}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=3，
∵∠EOC=90°-∠E=90°-30°=60°，
∴S_阴影=S_△COE-S_扇形AOC=$\frac{1}{2}×$3×3$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3π}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，三角形和扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．