Question

14．（1）观察下列等式后填空并回答问题：
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{7}{8}$；$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{15}{16}$；…；$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…的值趋向于1；
（2）当n变大时，$\frac{1}{{2}^{n}}$的值怎样变化？
（3）当n非常大时，$\frac{1}{{2}^{n}}$的值趋向于什么数？

Answer 1

分析 （1）根据已知$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$，$\frac{15}{16}$…，可以发现$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…的值的变化；
（2）$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{1}{8}$，…，根据变化规律发现，当n变大时，$\frac{1}{{2}^{n}}$的值会越来越小；
（3）根据（2）的运算结果发现，当n非常大时，$\frac{1}{{2}^{n}}$的值趋向于0．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{7}{8}$；$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{15}{16}$；…；
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…的值趋向于1，
故答案为：$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$，$\frac{15}{16}$，1；

（2）∵$\frac{1}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{1}{8}$，…
∴当n变大时，$\frac{1}{{2}^{n}}$的值越来越小；

（3）由规律发现，
当n非常大时，$\frac{1}{{2}^{n}}$的值趋向于0．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，根据已知得出规律是解答此题的关键．