Question

如图，已知点B、C分别在∠A的两边上，连结BC，点P在∠A的内部，连结PB、PC．试探索∠BPC与∠A、∠ABP、∠ACP之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：分三种情况：①点P恰在直线BC上，②点P在∠A的内部、△ABC的外部，③点P在△ABC的内部分别求出∠BPC与∠A、∠ABP、∠ACP之间的数量关系即可．

解答：解：①当点P恰在直线BC上时，∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，
∵B、P、C在一条直线上，
∴∠BPC=180°，
又∵∠A+∠ABP+∠ACP=180°，
∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．
②当点P在∠A的内部、△ABC的外部时，
∠BPC=360°-∠A-∠ABP-∠ACP，
∵点A、B、P、C构成四边形，
∴∠BPC+∠A+∠ABP+∠ACP=360°，
∴∠BPC=360°-∠A-∠ABP-∠ACP．
③当点P在△ABC的内部时（如图），
∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，
∵∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），
∠A+∠ABP+∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB），
∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．

点评：本题考查了多边形的内角和外角的知识，解答本题的关键是分类讨论，注意不要漏解，难度较大．