已知:直线l1与直线l2平行.且它们之间的距离为2.A.B是直线l1上的两个定点.C.D是直线l2上的两个动点.AB=CD=5.连接AC.BD.BC.将△ABC沿BC折叠得到△A1BC．(1)求四边形ABDC的面积．(2)当A1与D重合时.四边形ABDC是什么特殊四边形.为什么?(3)当A1与D不重合时①连接A1.D.求证:A1D∥BC,②若以A1.B.C.D为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：直线l₁与直线l₂平行，且它们之间的距离为2，A、B是直线l₁上的两个定点，C、D是直线l₂上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=5，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A₁BC．
（1）求四边形ABDC的面积．
（2）当A₁与D重合时，四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？
（3）当A₁与D不重合时
①连接A₁、D，求证：A₁D∥BC；
②若以A₁，B，C，D为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为a，b，求（a+b）²的值．

分析：（1）根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；
（2）根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；
（3）①连结A₁D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA₁=CA=BD，AB=CD=A₁B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A₁CD≌△A₁BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A₁D∥BC；
②讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S_△A1CB=S_△ABC=5，则S_矩形A1CBD=10，即ab=10，由BA₁=BA=5，根据勾股定理得到a²+b²=25，然后根据完全平方公式进行计算；
当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，所以（a+b）²=（2+5）²．

解答：解（1）∵AB=CD=5，AB∥CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积=2×5=10；

（2）∵四边形ABDC是平行四边形，
∵A₁与D重合时，
∴AC=CD，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴四边形ABDC是菱形；

（3）①连结A₁D，如图，
∵△ABC沿BC折叠得到△A₁BC，
∴CA₁=CA=BD，AB=CD=A₁B，
在△A₁CD和△A₁BD中

CA1=BD

CD=BA1

A1D=A1D

∴△A₁CD≌△A₁BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A₁D∥BC；
②当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S_△A1CB=S_△ABC=

×2×5=5，
∴S_矩形A1CBD=10，即ab=10，
而BA₁=BA=5，
∴a²+b²=25，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=45；
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=2，
而CD=5，
∴（a+b）²=（2+5）²=49，
∴（a+b）²的值为45或49．

点评：本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．

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