Question

1．已知抛物线C：y₁=a（x-h）²-1，直线l：y₂=kx-kh-1．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）当a=1，2≤x≤m时，y₁≤x-3恒成立，求m的最大值；
（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，-1），然后证明点（h，-1）符合直线y₂=kx-kh-1的解析式即可；
（2）令y₃=x-3，依据抛物线的解析式可得到抛物线的顶点在直线y=-1上，由2≤x≤3时，y₁≥x-3恒成立可得到抛物线的顶点坐标为（2，-1），然后找出抛物线y₁=a（x-2）²-1位于直线y₃=x-3上方时自变量x的取值范围，从而可确定出m的最大值；
（3）由（1）可知抛物线C与直线l都过点A（h，-1）．当0＜a≤1时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数点，即当x=h+3时，y₂＞y₁恒成立，然后由y₂＞y₁可得到关于k的不等式不等式，从而可求得k的取值范围．

解答 解：（1）抛物线C的顶点坐标为（h，-1），
当x=h 时，y₂=kh-kh-1=-1，
所以直线l恒过抛物线C的顶点；
  （2）当a=1时，抛物线C解析式为y₁=（x-h）²-1，
不妨令y₃=x-3 
如图1所示：抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，

当2≤x≤3时，y_1≤x-3恒成立，
则可知抛物线C的顶点为（2，-1），
设抛物线C与直线y₃=x-3 除顶点外的另一交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最大值，
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=（x-2）^{2}-1}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，解得：x=2，x=3，
所以m的最大值为3．

（3）如图2所示：由（1）可知：抛物线C与直线l都过点A（h，-1）．

当0＜a≤1时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在三个个横坐标为整数点，即当x=h+3时，y₂＞y₁恒成立．
所以k（h+3）-kh-1＞a（h+3-h）²-1，整理得：k＞3a．
又因为0＜a≤1，
所以0＜3a≤3，所以k＞3．

点评 本题主要考查的是二次函数函数的综合应用，解答本题主要应用了抛物线的顶点式，函数与不等式的关系，数形结合是解答本题的关键．