Question

已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC=CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵∠D=∠B=90°，
∴CD⊥AD，CB⊥AB，
∵AC平分∠BAD，
∴BC=CD；

（2）一定相等．
证明：如图，过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，
∴∠CBF与∠ABC互补．
∵∠B和∠D都是直角，互为补角，
∴∠D=∠CBF，
又∵AC是∠BAD的平分线，
∴CE=CF，
在Rt△BCF与Rt△DCE中，

∠D=∠CBF ∠DEC=∠CFB CE=CF

，
∴Rt△BCF≌Rt△DCE（AAS），
∴BC=CD．