如图.平面直线坐标中.A.点C为y轴正半轴上一点.且AC=10.B为x轴正半轴上一点.CB=32．(1)求B点坐标,(2)直线t:x=1是线段AB的垂直平分线.在直线t上是否存在点M.使M.A.C三点构成的△MAC为等腰三角形?若存在.直接写出M点坐标,若不存在.请说明理由．(3)设点P为直线t上一动点.且满足△PAC周长最小.当点D在线段OC上运动时.过点D作DE∥BC交x轴于点E.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，平面直线坐标中，A（-1，0），点C为y轴正半轴上一点，且AC=

，B为x轴正半轴上一点，CB=3

．
（1）求B点坐标；
（2）直线t：x=1是线段AB的垂直平分线，在直线t上是否存在点M，使M、A、C三点构成的△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设点P为直线t上一动点，且满足△PAC周长最小，当点D在线段OC上运动时，过点D作DE∥BC交x轴于点E，连PE、PD，且CD=m＞0，请求出△PDE面积S与m函数关系式，并求当CD为多长时，S_△PDE面积最大．

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）先在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC，然后在Rt△OBC中利用勾股定理计算出OB，则可得到B点坐标；
（2）设M点的坐标为（1，m），分类讨论：当AM=AC时，（1+1）²+m²=（

）²；当CM=CA时，1²+（m-3）²=（

）²；当MA=MC时，1²+（m-3）²=（1+1）²+m²，然后分别解方程求出m，再确定满足条件的M点的坐标；
（3）利用两点之间线段最短得到当点P为直线x=1与BC的交点时，△PAC周长最小，由于△OBC为等腰直角三角形，DE∥BC，则可判断△ODE为等腰直角三角形，得到OE=OD=3-m，易确定P（1，2），接着利用S_△PDE=S_△OBC-S_△PCD-S_△ODE-S_△PBE进行计算得到S_△PDE=-

m²+

m，再利用配方法得到S_△PDE=-

（m-

）²+

，然后根据二次函数的最值问题求解．

解答：解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，
在Rt△AOC中，OC=

AC2-OA2

(

)2-12

=3，
在Rt△OBC中，OB=

BC2-OC2

)2-32

=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）存在．
设M点的坐标为（1，m），
当AM=AC时，（1+1）²+m²=（

）²，解得m=±

，则此时M点的坐标为（1，

）或（1，-

）；
当CM=CA时，1²+（m-3）²=（

）²，解得m=0或m=6（点A、C、M共线，舍去），则此时M点的坐标为（1，0）；
当MA=MC时，1²+（m-3）²=（1+1）²+m²，解得m=1，则此时M点的坐标为（1，1），
综上所述，M点的坐标为（1，

）或（1，-

）或（1，0）或（1，1）；

（3）∵点A与点B关于直线x=1对称，
∴当点P为直线x=1与BC的交点时，△PAC周长最小，
∵OB=OC=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵DE∥BC，
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴OE=OD=3-m，
直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-x+3=2，则P（1，2），
S_△PDE=S_△OBC-S_△PCD-S_△ODE-S_△PBE
=

×3×3-

×1×m-

（3-m）²-

×m×2
=-

m²+

m
=-

（m-

）²+

，
∴当m=

时，S_△PDE面积最大，最大值为

．

点评：本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行的问题和等腰三角形的性质；会运用两点间的距离公式计算线段长，会解决最短路程的问题．

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