Question

12．已知抛物线y=-x²+2（k-1）x+k+1与x轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上．
（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程．（用k表示）
（2）求k的取值范围．
（3）若$\frac{OA}{BO}$=3，求k的值，并写岀此时抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用顶点坐标公式求得顶点坐标和对称轴方程即可；
（2）由于A、B分别在x轴的正负半轴上，由此可得出A、B两点横坐标的积应该是负数，即-（k+1）＜0，由此可得出k的取值范围；
（3）可根据OA、OB的比例关系设出A、B两点的横坐标（要注意A点在正半轴上），然后根据根与系数的关系即可得出一个关于k的方程组，进而可求出k的值，也就求出了抛物线的解析式

解答 解：（1）∵a=-1，b=2（k-1），c=k+1，
∴顶点坐标横坐标为（k-1），纵坐标为$\frac{-4（k+1）-4（k-1）^{2}}{-4}$=k²-k+2，
顶点坐标为（k-1，k²-k+2），对称轴方程x=k-1；
（2）设点A（x₁，0），B（x₂，0）且满足x₂＜0＜x₁
由题意可知x₁x₂=-（k+1）＜0，即k＞-1．
（2）∵OA：0B=3：1，设OB=a，即x₂=-a．
则OA=3a，即x₁=3a，a＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-a+3a=2a}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-a•3a=-3{a}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2（k-1）=2a}\\{-（k+1）=-3{a}^{2}}\end{array}\right.$
∴k=a+1，
即3a²-a-2=0，
解得a₁=1，a₂=-$\frac{3}{2}$（舍去）
∴k=2
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系等知识点，综合性较强．