Question

19．如图，矩形ABCD中，点A（1，1）、B（3，1），C（3，6），反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过点D，且与BC交于点P．
（1）直接写出点D的坐标和m的值；
（2）求直线DP的解析式；
（3）求直线DP与坐标轴交于E、F点，求△OEF与△DPC面积的之比；
（4）若点M在矩形ABCD的边上，且S_△DPM=S_△DPC，直接写出点M的坐标为（1，2）或（$\frac{3}{2}$，1）．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和点的坐标特征得出D（1，6）；把D（1，6）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$得出m=6；
（2）求出点P的坐标，由待定系数法求出直线DP的解析式即可；
（3）求出点E和F的坐标，求出△OEF和△DPC的面积，即可得出答案；
（4）分两种情况：①当点M在AD边上时，得出AM=BP=1，点M（1，2）；
②当点M在AB边上时，设点M的坐标为（x，1），由三角形的面积得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD中，点A（1，1）、B（3，1），C（3，6），
∴CD=AB=2，AD=BC=5，
∴D（1，6）；
把D（1，6）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$得：m=6×1=6；   
（2）由（1）可得：抛物线解析式为y=$\frac{6}{x}$，
当x=3时，y=2，
∴P（3，2）．                 
设直线DP的解析式为：y=kx+b，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线DP的解析式为：y=-2x+8．   
（3）∵直线DP的解析式为：y=-2x+8，
∴E（4，0），F（0，8）．
∴OE=4，OF=8，
∴△OEF的面积=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$×4×8=16．           
∵DC=2，CP=5-1=4，
∴△DPC的面积=$\frac{1}{2}$DC•CP=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
∴△OEF与△DPC面积的之比=16：4=4：1．                  
（4）分两种情况：①当点M在AD边上时，
∵S_△DPM=S_△DPC，
∴AM=BP=1，
∴点M（1，2）；
②当点M在AB边上时，如图所示：
设点M的坐标为（x，1），
∵S_△DPM=S_△DPC，
∴$\frac{1}{2}$（1+5）×2-$\frac{1}{2}$×5×（x-1）-$\frac{1}{2}$×1×（3-x）=4，
解得：x=$\frac{3}{2}$，∴M（$\frac{3}{2}$，1）；
综上所述：点M的坐标为（1，2）或（$\frac{3}{2}$，1）；
故答案为：（1，2）或（$\frac{3}{2}$，1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、矩形的性质、坐标与图形性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．