Question

11．如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上点P（m，n）是函数图象上任意一点，过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为E，F．并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面积为S．
（1）求k的值；
（2）当S=$\frac{9}{2}$时，求P点的坐标；
（3）写出S关于m的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的面积求得B的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）分成P在B的左侧和右侧两种情况进行讨论．当P在B的左侧时，重合部分是以OC为边的矩形，根据面积公式求得P的横坐标，进而代入反比例函数解析式求得纵坐标；当P在B的右侧时，重合部分是以OA为一边的矩形，根据面积公式求得P的纵坐标，进而求得横坐标；
（3）与（2）的解法相同，分成两种情况进行讨论．

解答 （1）∵正方形OABC的面积为9，∴OA=OC=3，∴B（3，3），
又∵点B（3，3）在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，∴k=9；
（2）分两种情况：①当点P在点B的左侧时，
∵P（m，n）在函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴mn=9，
∴S=m（n-3）=mn-3m=$\frac{9}{2}$，解得m=$\frac{3}{2}$，
∴n=6，∴点P的坐标是P（$\frac{3}{2}$，6）；
②当点P在点B的右侧时，
∵P（m，n）在函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴mn=9，
∴S=n（m-3）=mn-3n=$\frac{9}{2}$，
解得n=$\frac{3}{2}$，∴m=6，
∴点P的坐标是P（6，$\frac{3}{2}$），
综上所述：P（6，$\frac{3}{2}$），（$\frac{3}{2}$，6）．
（3）当0＜m＜3时，点P在点B的左边，此时S=9-3m，
当m≥3时，点P在点B的右边，此时S=9-3n=9-$\frac{27}{m}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数比例系数的几何意义，注意到分情况讨论是关键．