Question

13．已知两个不等的正数a，b，满足a²-5a=-2，b²-5b=-2，即a+b=5，ab=2，求如下式子的值：
$\sqrt{\frac{5（5a-{a}^{2}）}{{b}^{2}+2}}$+$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{a-b}$（$\sqrt{\frac{2}{a}}$-$\sqrt{\frac{2}{b}}$）÷（$\sqrt{a}$-$\frac{a+b}{\sqrt{b}}$）．

Answer 1

分析 根据二次根式的混合运算顺序，首先计算开方，然后计算乘法和除法，最后计算加法，求出算式$\sqrt{\frac{5（5a-{a}^{2}）}{{b}^{2}+2}}$+$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{a-b}$（$\sqrt{\frac{2}{a}}$-$\sqrt{\frac{2}{b}}$）÷（$\sqrt{a}$-$\frac{a+b}{\sqrt{b}}$）的值是多少即可．

解答 解：$\sqrt{\frac{5（5a-{a}^{2}）}{{b}^{2}+2}}$+$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{a-b}$（$\sqrt{\frac{2}{a}}$-$\sqrt{\frac{2}{b}}$）÷（$\sqrt{a}$-$\frac{a+b}{\sqrt{b}}$）
=$\sqrt{\frac{5×2}{5b}}$+$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（a-\sqrt{ab}+b）}{a-b}$×$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$×$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ab}-（a+b）}$
=$\sqrt{\frac{2}{b}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$
=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$
=$\sqrt{a}+\sqrt{b}$
=$\sqrt{{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}^{2}}$
=$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$
=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

点评 此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．