Question

16．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=12，BC=18，求菱形AECF的边长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x，AE=x，在Rt△ABE中根据勾股定理得（8-x）²+4²=x²，然后解方程即可得到菱形的边长．

解答 （1）证明：∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴四边形AECF时平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=18-x，AE=x，
在Rt△ABE中，∵BE²+AB²=AE²，
∴（18-x）²+12²=x²，
解得：x=13，
即菱形的边长为13．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．