Question

4．已知在△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S_△ADC=30$\sqrt{3}$，求BD的长．

Answer 1

分析 作AE⊥BD于E，则∠AEB=∠AED=90°，由三角形的面积求出AE=5$\sqrt{3}$，由勾股定理求出DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=11，再由三角函数求出BE，即可得出BD的长．

解答 解：作AE⊥BD于E，如图所示：
则∠AEB=∠AED=90°，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$CD×AE=30$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×12×AE=30$\sqrt{3}$，
∴AE=5$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{4}^{2}-（5\sqrt{3}）^{2}}$=11，
∵∠B=60°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×5$\sqrt{3}$=5，
∴BD=BE+DE=5+11=16．

点评 本题考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．